斐波那契点与斐波那契双曲线
今天所讲内容涉及很多知识内容，但都不难，也很有趣，不妨仔细读一读。
1.预备知识一：斐波那契数列的相关性质
性质A：三个相邻的斐波那契数，外侧两个斐波那契数的乘积，与中间斐波那契数的平方的差，绝对值为1；在中间数的项数为偶数时，外侧两数乘积比中间数的平方大1，在中间数的项数为奇数时，外侧两数乘积比中间数的平方小1。用公式表示就是：
比如，
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，···
(n=4时,2×5－3×3=1; n=5时,3×8－5×5=－1)
性质B：四个相邻的斐波那契数，外侧两个斐波那契数的乘积，与内侧两个斐波那契数的乘积的差，绝对值为1；在四个数的第二个数的项数为偶数时，外侧两数乘积比内侧两数乘积大1，在四个数的第二个数的项数为奇数时，外侧两数乘积比内侧两数乘积小1。用公式表示就是：
比如，
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，···
(n=4时,2×8－3×5=1; n=5时,3×13－5×8=－1)
这两个性质在后面都要用到。
2.斐波那契点
指(1,0)，(1,1)，(2,1)，(3,2)，(5,3)，(8,5)，(13,8)，···这样的点，它们的横坐标依次为斐波那契数，纵坐标先是0，然后再依次是斐波那契数。所以一个斐波那契点的横纵坐标依次是相邻的两个斐波那契数，但横坐标大于纵坐标。
3.斐波那契双曲线
对斐波那契数列的性质A进行变形：
上面最后一式让我们联想到双曲线方程：
我们画出方程(2)所表示的双曲线（两条双曲线，每条双曲线由两支构成）：
上图中，绿色双曲线对应右端等于－1时的方程；蓝色双曲线对应右端等于＋1时的方程。绿色双曲线绕原点旋转90°后，将与蓝色双曲线重合。但是这两条双曲线的对称轴都不是x轴和y轴，而是与x轴和y轴有一个角度。这是因为双曲线的方程中有xy项。上图中还画出了这两条双曲线的公共渐近线，其中一条渐近线的斜率为黄金数0.618···[用根式表示为(√5-1)/2]。
比较方程(1)和(2)，很容易发现，满足方程(1)的一对斐波那契数(un,un-1)一定满足方程(2)。而(un,un-1)正是斐波那契点的坐标。所以，可以有结论：斐波那契点一定位于上图所示双曲线上。这个结论还有些粗糙。其实，因为斐波那契点的横纵坐标都大于等于0，所以，斐波那契点全都位于下图所示的第一象限部分的双曲线上。再由上段所说的90°旋转对称性，点(un,un-1)及其90°旋转对称点(-un-1, un)、(-un,-un-1)、(un-1,-un)就全都位于这两条双曲线上。
以上这些点都是格点，它们都位于双曲线上。但我们还不能确定是否有其他不是斐波那契点的格点，它们的坐标也满足方程(2)，也就是说，我们还不能确定由方程(2)表示的双曲线上是否有不是斐波那契点的格点。下面我们就要证明，除斐波那契点外，没有其他任何一个格点位于方程(2)所表示的双曲线上。然后，我们就可以顺理成章地给这样的双曲线取一个名称——斐波那契双曲线。
证明前，需要先掌握下面两个预备知识。
4.预备知识二：皮克定理
皮克定理是针对格点多边形的，且多边形没有边界交叉。用I表示多边形内部格点数量，B表示边界上的格点数量。则多边形面积S由下面的公式给出：
比如下图所示格点多边形：
观察，它一共有17个内部格点（黄色），10个边界格点（绿点；可以是顶点，也可以是边上的点），所以，根据皮克定理，有
5.预备知识三：三角形面积的行列式公式
已知三点A、B、C的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)，那么三角形ABC的面积S用行列式表示的公式是：
其中内层两竖线“| |”表示行列式，外层两竖线“| |”表示绝对值。在A、B、C三点不在一条直线上（否则面积为0）的情况下，当A、B、C三点逆时针排列时，行列式为正值，当A、B、C三点顺时针排列时，行列式为负值。注意，不能少了乘以1/2。
6.前面已经证明了所有斐波那契点及它们分别旋转90°、180°、270°所得到的点，全都位于这两条双曲线上。下面我们根据以上这些预备知识，来证明下面的结论：位于这两条双曲线上的点如果是格点，那它一定是斐波那契点或它们旋转90°、180°、270°所得到的点（或者说，这两条双曲线穿越所有斐波那契点及它们分别旋转90°、180°、270°所得到的点，把其他一切非斐波那契点的格点留在这两条双曲线之外）。这时，我们就可以给这两条双曲线起个名字，叫斐波那契双曲线。
我们在第一象限内进行证明。如下图所示，每相邻的三个斐波那契点连接出一个格点三角形。比如图中橙色三角形是由点(1,0)，(1, 1)，(2, 1)构成的格点三角形；粉色三角形是由点(1, 1)，(2, 1)，(3, 2)构成的格点三角形；······
我们先来证明所有这些三角形的面积都是1/2。上图中，橙色和粉色三角形的面积为1/2是容易看出来的，但绿色三角形面积为1/2就不那么容易，所以，需要用公式。我们要用到前面的预备知识三：三角形面积的行列式公式。三个连续的斐波那契点的坐标可以写成：
(un,un-1)，(un+1,un)，(un+2,un+1)
（其中n=1,2,3,···。补充定义u0=0。）
那么，以这样三个连续斐波那契点为顶点的三角形的面积就是：
按第三列展开行列式，得
根据前面预备知识一中的性质A，不管n是奇数还是偶数，上式中绝对值内部的第一项(指括号内)和第三项，一定是一个为+1，一个为-1。所以，两者互相抵销。于是，绝对值内部还剩余一项：
根据前面预备知识一中的性质B，上式绝对值中括号内的值为1或-1，所以，上式就等于1/2，即
有了上面每个三角形的面积都为1/2这一结论，我们下面就来应用皮克定理证明双曲线上不存在其他格点。
皮克定理为：
上式左端S=1/2。边界点的个数B至少是3。那么，上式右端“内点个数I不可能大于0”和“B不可能大于3”这两者，如果有一个被破坏，都将导致右端大于1/2。矛盾。所以，只能I=0，B=3。即三角形没有内点，边界点也只有三个顶点。
观察发现，每个这样的三角形都覆盖住了双曲线的一段，那么这一段上就没有格点（因为无内部格点）。又因为所有这些三角形一起，完全覆盖了双曲线位于直线x=1右侧全部，而位于x=1和y轴之间那段双曲线也只有(0,1)这一个格点，但它是斐波那契点(1,0)旋转所得。所以，双曲线上一定不存在除斐波那契点以外的其他格点。于是，我们就证明了我们本期内容所要证明的结论：
在由前面方程(2)所表示的双曲线上，除斐波那契点及它们分别旋转90°、180°、270°所得到的点外，没有其他格点。