卢卡斯数列与斐波那契数列
今天简单介绍一下卢卡斯数列。
我们知道斐波那契数列为：
1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ···
而卢卡斯数列是通过斐波那契数列来定义的。首先，我们补充定义F0=0。于是，补充后的斐波那契数列为：
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ···
我们定义卢卡斯数为：
Ln =Fn-1 +Fn+1, 其中 n=1,2,3, ···
于是，
L1 =F0 +F2 = 0+ 1=1
L2 =F1 +F3 = 1+ 2=3
L3 =F2 +F4 = 1+ 3=4
L4 =F3 +F5 = 2+ 5=7
L5 =F4 +F6 = 3+ 8=11
L6 =F5 +F7 = 5+ 13=18
L7 =F6 +F8 = 8+ 21=29
L8 =F7 +F9 =13+ 34=47
L9 = F8 +F10 =21+ 55=76
L10 =F9 + F11 =34+ 89=123
L11 =F10 +F12 =55+144=199
L12 =F11 +F13 =89+233=322
L13 =F12 +F14 =144+377=521
............
于是，卢卡斯数列就是这样一个数列：
1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,332,521,···
它的第1项为1，第2项为3。而根据卢卡斯数的定义，序号为n的卢卡斯数是以其前后序号n-1和n+1为序号的斐波那契数之和，所以有
Ln =Fn-1 +Fn+1
=(Fn-3 +Fn-2 ) +(Fn-1 +Fn )
=(Fn-3 +Fn-1 ) +( Fn-2 + Fn )
=Ln-2+Ln-1
即，卢卡斯数列从第3项起，每一项都是其前面两项之和。这与斐波那契数列的递推关系一样。
我们观察序号为素数的卢卡斯数：L2，L3，L5，L7，L11，L13，···。把它们都减去1。发现，它们都可以被素数序号整除：
L2－1=3－1=2=1×2
L3－1= 4－1 = 3 = 1×3
L5－1= 11－1 =10=2×5
L7－1= 29－1 =28=4×7
L11－1= 199－1 =198=18×11
L13－1 = 521－1 =520 =40×13
可以证明，若卢卡斯数的项数为素数，则这个卢卡斯数减去1后所得的差，可以被这个素数整除。这是一个非常神奇的性质，可能对素数中未知领域的研究有重要的价值。
有关卢卡斯数，只先介绍这些基本的内容。