斐波那契数列与音乐节拍
以前讲过很多例子，它们的模型都是斐波那契数列。今天再讲一个，我们一起来看看是怎么回事。这个例子与音乐有关。斐波那契数列真是丰富多彩。
涉及音乐的节拍。设一个短音为一拍，用一字线“一”表示；一个长音时长为短音的两倍，为两拍，用二字线“一一”表示。用这两种声音奏出一小节的声音。那么具有n拍(n=1,2,3,···)的一小节有几种不同的节奏类型？我们边举例子边说明什么是节奏类型。显然，n=1即一小节只有1拍时，声音只能用一个短音奏出，即“一″，所以只有一种节奏类型。n=2即一小节有2拍时，声音可以用两个短音奏出，也可以由一个长音奏出，即
所以n=2时有两种节奏类型。
当n=3即一小节有3拍时，我们怎么考虑问题以确定有几种节奏类型？我们知道，一小节结束前可以是一个短音，也可以是一个长音。(1)在结束前是一个短音的情况下，这个短音之前已经奏出了两拍，这两拍就具有前面讲过的两种节奏类型；(2)在结束前是一个长音的情况下，它占据了两拍，三拍中的第一拍只能是一个短音，也就是一种节奏类型。所以，三拍时一共是三种节奏类型（即2+1=3）。如下图所示：
当n=4即一小节有4拍时，同样地考虑结束前分别是一个短音还是一个长音的两种情况：结束前是一个短音时，前三拍就是n=3的情况；结束前是一个长音时，前两拍是n=2时的情况。所以，四拍时一共有3+2=5种节奏类型。
继续下去，就是下面这幅图。它是n=5即一小节有5拍时的情况，共有节奏类型5+3=8种。
这不就是斐波那契数列的递归关系么！即一个n拍所拥有的节奏类型，就等于一个n-1拍所拥有的节奏类型加上一个n-2拍所拥有的节奏类型。所以，我们就得到了这个节拍问题的节奏类型的一个数列：
1,2,3,5,8,13,21,34,···
这个数列缺少斐波那契数列的第一项，其他项完全一样。
从下图我们可以看出这个数列的走向，很有意思：
当然了，不是每种节奏类型都好听！这里只是数学上的研究，实际音乐上使用什么节奏型，可能又是另一回事。但音乐与数学是有联系的！除节奏上与数学有关外，音高也与数学有关。
这个问题与爬楼梯问题是完全同构的。所谓爬楼梯问题是这样说的：有一楼层共有n级台阶，一个人一次可以迈上一级台阶，也可以一次迈上两级台阶，不准后退。问这个人从楼层下面爬到楼层上面，一共有多少种不同的爬楼方式？下图是n=4时的情况，一共有5种爬楼方式：
0→1→2→3→4（红+橙+绿+青）；
0→1→2→4（红+橙+粉）；
0→1→3→4（红+褐+青）；
0→2→3→4（蓝+绿+青）；
0→2→4（蓝+粉）。
