等轴双曲线内接三角形的垂心轨迹是什么？
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渐近线互相垂直的双曲线叫做等轴双曲线。若我们以x轴和y轴为渐近线，那么，等轴双曲线的方程就是xy=k(常数)。从函数的角度看，它就是反比例函数y=k/x。
取k=1，我们在直角坐标系中画出反比例函数y=1/x的图像，如下图所示。在等轴双曲线上任取三个点A、B、C。以三个点为顶点作一个三角形ABC。如下图所示。
作这个三角形的垂心P。我们发现，这个垂心P正好位于双曲线上。
下图是改变了三个顶点的位置，发现点P位置变了，但仍然位于双曲线上。
我们把三个顶点置于双曲线两支当中，发现，垂心仍然位于双曲线上。
下面我们用代数方法证明点P的轨迹就是等轴双曲线本身。
设三个顶点A、B、C的坐标分别为(a，k/a)，(b，k/b)，(c，k/c)。于是，直线AB的方程为
即
它的斜率为-k/ab。所以，它的垂线的斜率为ab/k。从而过点C的AB边上的垂线方程为
同理，可得BC边上的垂线方程为
求出两条垂线的交点即三角形的垂心坐标为
很容易看出，垂心的横纵坐标的乘积为
即这个垂心的横坐标或纵坐标都依赖于三个顶点的坐标，且可以取到除0以外的任何值。但横、纵坐标的乘积却是常数k。这就说明，垂心坐标满足等轴双曲线方程xy=k。垂心的轨迹就是原来的等轴双曲线本身。很神奇！
若三角形的三个顶点都位于双曲线的一支上，则垂心一定位于另一支上。若有两个顶点位于同一支上，另一顶点位于另一支上，则垂心位于两个顶点所在的那一支上。
这个问题叫做布里安香-彭色列双曲线问题。这个问题只适用于等轴双曲线。