牟合方盖与球的体积
有两个直径相等的正圆柱体，它们垂直相交（互相穿过对方），那么，两者公共部分的体积怎么计算？
下图所示是由沿x轴方向的正圆柱体与沿y轴方向的正圆柱体正交后公共部分的上半部分。只画一半，因为另一半与这一半对称。图中绿色阴影是x轴方向圆柱面的一部分，蓝色阴影是y方向圆柱面的一部分。因为柱面是直纹面，所以可以看出，沿水平面（平行于xy面）切割它，所得一定是正方形。
它看上去像个野营用的帐篷。
餐桌罩也有很多是做成这个样子的。
我们设想一下，两个圆柱体在相交处是打通的，那么，把一个直径刚好等于圆柱直径的球分别从这两个圆柱中间放入，像打炮一样，让它沿直线运动，那么球一定都是正好沿着圆柱的内壁从一头装进去，从另一头发射出。中间有这么一个位置，球若处于这个位置，它就正好挡住了视线，使我们不能从任何一个圆柱的一端从内部看到另一端。所以，如果当这个球正好位于这个位置时，我们再把两个圆柱面位于对方内部的部分补上，那么，所补部分正好就是我们所要求其体积的那个空间，即两圆柱的公共部分。这个公共部分叫做牟合方盖。它把这个球围在了里面，并使得球不能动弹，即球与牟合方盖是内部相切的。前面说过用水平面切割这个牟合方盖，切平面与牟合方盖的交线是一个正方形，但如果切割时球还在里面，则切割平面与球的交线就是下图中的圆。这个圆位于正方形内部与正方形四边都相切。（下图相当于牟合方盖的上半部分。）
球与牟合方盖虽然是相切的，但之间是有空隙的（正像切出的正方形与圆之间有空隙那样）。那么，我们怎么求牟合方盖的体积呢？
对于每一水平切片，都是由一个正方形和它的内切圆构成。正方形是牟合方盖的横截面，圆是球的截面。正方形与圆之有空隙，这个空隙就是牟合方盖与球之间空隙的来源。不管切片在多高的位置，每个切片中正方形的面积与它的内切圆的面积之比是定值。这个比值为：
牟合方盖就是这样的正方形在垂直方向运动得到的，而那个内切的球是圆在垂直方向上运动形成的。所以，牟合方盖的体积与球的体积的比值就是4/π。假如我们知道了球的体积，那么，牟合方盖的体积就是球的体积的（4/π）倍。最终我们得到牟合方盖的体积等于：
在外国，球的体积是很早就求出来的（阿基米德用一个有上下底面的圆柱体把球卡在里面不能动弹，则球的体积就是圆柱体积的三分之二，参见本公众号中《卡瓦列里原理|阿基米德对球体积的计算》一文）。所以，有了球的体积，用上述方法就可以得到牟合方盖的体积。
在中国，是牟合方盖问题很早就提出来了，中国数学家用了一个巧妙的办法求出了牟合方盖的体积，又由等幂等积原理得出球的体积。具体来说，这是怎么做到的呢？
下图中的左图为牟合方盖的八分之一。也是“帐篷”的四分之一。
而右图倒棱锥体同高度的截面面积也是
根据刘徽的等幂等积定理（国外叫卡瓦列里原理），上图中正方体与牟合方盖的八分之一之间空隙的体积与倒棱锥体的体积相等。
而倒棱锥体的体积为
所以，八分之一牟合方盖的体积等于正方体的体积减去倒棱锥的体积：
那么，整个牟合方盖的体积就是：
有了牟合方盖的体积，再来求球的体积。牟合方盖的体积是其内切球体积的（4/π）倍，所以有
