牟合方盖球的体积公式是怎么推导出来的？
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要想解决这个问题，需要以下几个步骤
祖暅原理
“两个同高的几何体，如果与底等距离的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”，原文是“幂势既同，则积不容异”，在西方被称为卡瓦列利原理。
就好比图中的这三个几何体，与底面等距离处的截面积都相等，这三个几何体体积是相等的。祖暅也叫做祖暅之，是祖冲之的儿子。祖冲之父子在数学上均有很大的成就。
牟合方盖
我国古代数学家刘徽、祖冲之父子通过牟合方盖这种工具对球的体积进行推导。所谓的牟合方盖其实就是立方体被两个直径是立方体边长的圆柱体所截所得的一个图形。
正如下方的动图一样。从上方看的视图是正方形，沿着两个圆柱体的方向看视图是圆形。
牟合方盖的体积
学过解析几何的同学都知道，平面直角坐标系分四个象限，立体坐标系分为八个卦限。象限和卦限是按照我国传统文化来翻译的，也就是易经中说的四象、八卦的意思。
牟合方盖被坐标轴分为8个对称的部分，取第一卦限的部分进行研究。
结合勾股定理以及祖暅原理，可以知道左边的牟合方盖（八分之一）的体积等于右边的立方体挖去一个与其等底等高锥体之后剩余部分的体积，于是牟合方盖（八分之一）的体体积等于2/3r^3，整个牟合方盖的体积为16/3r^3
将牟合方盖的体积转化为球的体积
取球体的第一卦限的部分（1/8球）研究。可以发现在任意高度的位置上，球体截面积与牟合方盖截面积与的比是π/4。所以球的体积是4/3πr^3
