梅涅劳斯定理证明蝴蝶定理

发布时间:2021-03-08 16:17:27 浏览: 次作者:www.tl6.net

蝴蝶定理：AB为圆O的任意一条弦，M为AB的中点，CD和EF为过点M的两条不同于AB的弦。连接CF，DE，这两条弦与AB交于点G和H。那么，GM=MH。证明：如下图所示。

证明：就上图的样子，我们延长FC和DE，两延长线相交于点P。

于是得到三角形GPH。而CMD和EMF都是与三角形GPH三边（或延长线）都相交的直线。为了应用梅涅劳斯定理，我们分别考虑不同的情况。首先，我们隐藏线段CMD和HD。于是有下图：

根据梅涅劳斯定理，有

把线段CMD和HD重新显示，而把EMF和GF隐藏，于是有下图：

根据梅涅劳斯定理，有

(1)式乘以(2)式，并通过演变(其中用到割线定理、相交弦定理等)，最终可得出结论，如下所示。

证毕。

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