用笛沙格对合定理证明坎迪定理
发布时间: 浏览: 次 作者:www.tl6.net
最近几期都讲到笛沙格对合定理。上上期我们讲了用笛沙格对合定理证明蝴蝶定理。蝴蝶定理的推广形式就是所谓的坎迪(Candy)定理。以前我讲过坎迪定理，给出了证明（见文后链接），但证明过程比较复杂。今天我给出用笛沙格对合定理证明坎迪定理，非常简洁和有效，正像我们之前用它证明蝴蝶定理那样简洁、有效。
先给出坎迪定理本身：
有一个圆O，任取一条弦AB。在弦AB上任取一点P，过点P作两条与AB不同的弦CD和EF（要使点C和E位于弦AB同侧）。连接CF和DE。CF和DE分别与弦AB交于点G和H。如下图所示。（注意，图是我那次证明坎迪定理时使用的，上面有一些符号这次就不用了，本次仍然放在这里，也从一个侧面说明本次的证明更加简洁。）
坎迪定理的结论是：弦AB上一点P到弦两端点A和B的距离p和q的乘积pq，与这点到两弦CF和DE与弦AB交点G和H的距离x和y的乘积xy的比值pq/xy，等于p和q的差p-q与x和y的差x-y的比值(p-q)/(x-y)。如下面(1)式。也可以写成下面的(2)式。
（若p=q，则由(2)式，一定也有x=y。这就是蝴蝶定理。）
下面我们用笛沙格对合定理证明坎迪定理。
可以写出下面的交比等式：
（APGB）=（BPHA）
所以，
AB=BA，所以得
改用小写字母表示线段，并化简，得
(4)式即(1)式，定理得证。做个简单的变形，就可以得到形式(2)。
