笛沙格对合定理与完全四边形
今天讲笛沙格对合定理与完全四边形的关系。很有意思！
（1）笛沙格对合定理 一条直线截圆锥曲线于点对(S，S')，截圆锥曲线的内接四边形的三组对边分别于点对(A，A')，(B，B')及(C，C')，那么，这四个点对位于同一个对合中。
注：我们用同一大写字母一个不带撇,一个带撇表示点对，比如(A,A')。另外，上图中，四边形PQRT的三组对边分别是QR与PT，PR与QT，PQ与RT。
（2）笛沙格对合定理中没有规定直线必须与四边形的内部边相交，所以，下图所示中的直线l，也是符合笛沙格对合定理条件的。只是四边形的外接圆锥曲线没有画出来，因为本题不需要。下图中，直线与四边形PQRS的三组对边QR与PS，PQ与RS，PR与QS分别交于点对（A，A'），（B，B'），（C，C'）。
于是，有交比等式
（ABCC'）=（A'B'C'C）
即
假定直线l移动到经过QR与PS的交点及PQ与RS的交点。这时，点A与A'重合，点B与B'也重合。得到完全四边形SPQRAB。如下图所示。
则（1）式变为
即
因为如图所示，对角线SQ一定与直线l交于线段AB之内，而对角线PR一定与直线l交于AB的延长线上。若不考虑线段的方向，即线段都是正的，则由(3)式有AC:BC=AC':BC'，即点C和C'把AB调和分割。若考虑线段的方向，则AC:BC=－AC':BC'，即（ABCC'）=－1，这就是调和分割的交比定义。这就证明了有关完全四边形的一个定理中的一部分：完全四边形SRQRAB的对角线AB的两端被对角线SQ和PR调和分割。
（3）有关完全四边形的这个定理是说，完全四边形三条对角线中的每一条的两端，都被另外两条对角线调和分割。具体来说，如下图所示，(a)就是对角线PR的两端被对角线SQ和AB调和分割，即交比（PRTC'）=－1。(b)对角线SQ被对角线PR和AB调和分割，即交比（SQTC）=－1。(c)对角线AB被对角线SQ和PR调和分割，即交比（ABCC'）=－1（即这里用笛沙格对合定理所证的）。我们既然证明了交比（ABCC'）=－1，那么，因为A、B、C、C′四点与P、R、T、C'四点关于点S是透视的(虽然SC′未画出)，所以，交比（PRTC'）=－1。再以点A为透视中心，则直线PC′上的点P对应直线SC上的点S；R对应Q，T对应T，C'对应C，所以，交比（SQTC）=（PRTC'）=－1。
以上我们就用笛沙格对合定理简洁、有效地证明了完全四边形中有关调合分割的一个重要定理。利用这个调合分割关系，我们可以做一些有趣的事情。见下面的链接文章。
有关完全四边形的相关文章链接：
[1]完全四边形与藏宝图（2017-8-19）
[2]上一讲作切线方法的理论依据（2021-4-16）
[3]椭圆的共轭直径（2021-4-22）