用笛沙格对合定理证明蝴蝶定理
今天我们用笛沙格对合定理来证明蝴蝶定理。这个证明方法简洁、有效。笛沙格对合定理是一个很难理解的定理，属于射影几何。我们今天给出这个定理，并对其进行一些说明，但不证明。然后，蝴蝶定理的证明反就极为简洁、有效。
笛沙格对合定理 一条直线截一条圆锥曲线于点对(S，S')，截圆锥曲线的内接四边形的三组对边分别于点对(A，A')，(B，B')及(C，C')，那么，这四个点对位于同一个对合中。
注：我们用同一大写字母(一个不带撇,一个带撇)表示点对，比如(A,A')。另外，上图中，四边形PQRT的三组对边分别是QR与PT，PR与QT，PQ与RT。
这个定理的结论“四个点对位于同一个对合中”可以理解为下面这些交比的等式都成立：
①(SABC)=(S'A'B'C')
上式中，左、右两边第i( i=1,2,3,4)个字母是点对。比如左边第2个字母是A，则右边第2个字母一定是A'。
②(SA′BC)=(S'AB'C')
即①中左、右同一位置的两个字母(点对的两个字母)可以互换(称可换的点对为共轭点对)，即撇“＇”可以在右边，也可以在左边。
③(SBCA)=(S'B'C'A')
即左边交比中字母顺序可以任意取，右边交比中的字母顺序跟着变化，只要保持左、右同一位置的字母是点对即可。(但交比中四个字母不能有重复。)
④由于四个点对都是共轭点对，所以(SBCB′)是允许的，所以有：
(SBCB′)=(S'B'C'B)，
(SB′A'B)=(S'BAB′)，
(C′A'CB)=(CAC'B′)。
说明：(a)直线上A、B、C、D四点交比的定义：
(ABCD)=(AC/BC)/(AD/BD)
(b)笛沙格对合定理需要我们努力去理解，虽然不是很容易。只从形式上去证明，读者仍然可能会不知所云。所以，我下面就要用这个著名的定理去证明另一个著名的定理。接下来的一期还要用它证明一个结论（与完全四边形有关，也与调合点列有关）。
下面用笛沙格对合定理来证蝴蝶定理。以前提及蝴蝶定理都是对圆来说的，所以用初等数学平面几何的方法也可以证。现在，我们在椭圆中进行。AA′为一条弦，C为AA′的中点。过中点C作两条弦DE和FG，其中D和F在弦AA′同侧。如图所示。再连接DG，连接FE。DG和FE分别与AA′交于点B和B'。我们要证明CB=CB′。
DGEF为对合定理中圆锥曲线的内接四边形。AA′为对合定理中与圆锥曲线和内接四边形相交的直线。于是，(A, A′)是一个共轭点对。DG与FE是内接四边形的一双对边，所以(B,B′)是一个共轭点对。DE与FG也是内接四边形的一双对边，它们的交点C既在DE上，也在FG上，所以(C,C)是第三个共轭点对(这时C与C′重合了)。对边DF与GE与直线AA′的交点在本题中我们可以不考虑。于是便写出某个交比等式，比如：
(ACBA′)=(A′CB′A)
即
(AB/CB)/(AA′/CA′)=(A′B′/CB′)/(A′A/CA)
因为CA′=CA，所以，
AB/CB = A′B′/CB′
两边都加1，得
AB/CB +1= A′B′/CB′ +1
即
(AB+CB)/CB =(A′B′+CB′)/CB′
AC/CB = A′C/CB′
CB = CB′
证毕。