笛沙格定理:十棵树排十行每行三棵怎么排？
有一个问题，不知是谁提出来的。这个问题是：要把十棵树栽种成十行，每行都有三棵树。问应该怎么栽种？
（0）在2016年1月5日讲过一个类似的问题，即要求种九棵树，这九棵树可以连接出十条线，每条线上都有不多不少三棵树。在那里，我是借此问题引出帕普斯定理的。具体内容详见文后的链接。今天所讲这个“十树排十行”问题则是与笛沙格定理有关。
笛沙格定理我以前讲过很多次，这里先给出这个定理的结论：如上图所示，如果两个三角形ABC和A'B'C'对应顶点（A与A'、B与B'、C与C'）的连线交于一点S，那么它们的对应边（AB与A'B'，BC与B'C'，CA与C'A'）的交点（X、Y、Z）就位于一条直线（XYZ）上；逆定理也成立。
（1）让我们来数一数上图中一共有几个三条直线经过的点，几条过三个点的直线。这样的点（图中绿色）共有十个：A、B、C、A'、B'、C'、S、X、Y、Z。这样的直线也有十条：SAA'、SBB'、SCC'、XBA、XB'A'、XYZ、CBY、C'B'Y、CAZ、C'A'Z，它们都经过且只经过三个点，比如直线CBY所经过的点就是表示这条直线的字母C、B、Y。所以，我们只需在上图这样的十个点处种树，就可以做到把十棵树排成十行，每行不多不少有三棵树。栽树问题解决了，但数学知识并没有结束，我们一同来探讨。
（2）上图中的十个点都是彼此等价的。比如说，可以把上图中的点S当作射影中心，从它出发的三条直线分别经过三角形ABC和A'B'C'的对应顶点（A与A'，B与B'，C与C'），从而有三条对应边交点共线的结论，即笛沙格定理。其实，点X也有这样的功能：如下图所示，从点X发出的三条直线XBA、XB'A'、XYZ分别经过三角形BB'Y和AA'Z的对应顶点（B与A，B'与A'，Y与Z），而这两个三角形的对应边（BB'与AA'，B'Y与A'Z，YB与ZA）的交点（S、C'、C）当然共线（直线SCC'），即笛沙格定理仍然成立（射影中心为X）。
请您注意，我在上图中，已经把上上图中那两个涂以紫色的三角形去了色，而把这里所讨论的两个三角形BB'Y和AA'Z内部涂以另一种颜色（绿色）。后面我也是这样做的，这样看起来清楚明白。
（3）我们再换个中心。如下图所示，观察青色和蓝灰色的两个三角形ZAX和C'SB'（有部分重叠，不用管它）。一定要注意我写这两个三角形时三个字母的顺序，从这个顺序可以看出哪个顶点与哪个顶点是两个三角形的对应顶点，这里，点Z与C'对应，点A与S对应，点X与B'对应。那么，Z与C'的连线经过点A'；A与S的连线也经过点A'；X与B'的连线仍然经过点A'。即两个三角形ZAX和C'SB'对应顶点连线都经过点A'，从而点A'是射影中心）。
根据笛沙格定理，这两个三角形的对应边的交点应该共线。我们来看一看是不是这样：对应边ZA与C'S交于点C，对应边AX与SB'交于点B，对应边XZ与B'C'交于点Y，这三个交点C、B、Y确实在一条直线上（直线CBY）。
（4）我们再多举几个例子。比如以点C为射影中心，那么，这时从它发出的三条射线为CAZ、CBY、CSC'。于是，相关的两个三角形有可能是ABS和ZYC'。如下图所示。三对对应顶点（A与Z，B与Y，S与C'）连线交于点C，三对对应边（AB与ZY，BS与YC'、SA与C'Z）分别交于三点（X、B'、A'），三点X、B'、A'共线（直线XB'A'）。
（5）若我们把类似上面给出的每一种情况都称为一种笛沙格构形，那么，由这十个点和十条直线组成的图形中，一共有多少种笛沙格构形呢？结论是120种（这里不具体讨论）。请您自己根据下图所示的这种笛沙格构形，找出射影中心是哪个点，射影直线是哪条直线？（对应顶点连线交于一点的两个三角形的三组对应边交点共线，这条所共之直线姑且称作射影直线。）（答案：A；YB'C'。）
（6）我们还可以更进一步。在上一图两个涂色三角形的基础上，再增加一个三角形BB'Y，如下图所示。我们来研究这三个三角形：①BSC，②BB'Y，③XA'Z。
首先，①BSC与②BB'Y关于点B是透视的，我们把这两个三角形对应边用同一种颜色标出，不同的对应边标以不同的颜色，比如BS与BB'是对应边，都用蓝色标出，而BC与BY是另一组对应边，被标以绿色。其次，①BSC与③XA'Z是关于点A透视的，这个我们上一条研究过（B与X连线过A，S与A'连线过A，C与Z连线过A）。BS与XA'是对应边，也都标以蓝色，BC与XZ是另一组对应边，被标以绿色。
再来看②BB'Y与③XA'Z。点B与X对应，点B'与A'对应，点Y与Z对应，这三组对应点的连线交于点X，即两个三角形关于点X是透视的。好的，注意，我这里特意把三个射影中心的字母标以红色（B，A，X）。而这三个点正好就是某条直线上的三个点。这不是巧合吗。我们可以再来看另一个例子。
（7）可以再试一试下面这三个两两透视的三角形：①BSA，②BB'X，③YC'Z。首先，①BSA与②BB'X关于点B是透视的；其次，①BSA与③YC'Z关于点C是透视的；那么，②BB'X与③YC'Z的透视中心一定是直线CBY上除B和C外的第三个点Y。
我们可以验证一下：②BB'X与③YC'Z的第一个字母B与Y的连线过点Y是吧；第二个字母B'与C'的连线也经过Y吧；第三个字母X与Z的连线还是经过Y。所以，这两个三角形的透视中心就是Y。
（8）还有一条不易发觉的性质，这里简单介绍一下。上图中三个三角形中每两个三角形三组对应边交点位于一条直线上，于是三个三角形两两组合，可以产生三条这样的直线，而这三条直线却是同一条直线。就以上图为例，①BSA与③YC'Z三组对应边（BS与YC'，SA与C'Z，AB与ZY）的交点（B'，A'，X）位于直线XA'B'上。②BB'X和③YC'Z三组对应边（BB'与YC'，B'X与C'Z，XB与ZY）的交点（B'，A'，X）位于直线XA'B'上。①BSA和②BB'X三组对应边交点连线也是直线XA'B'。
以上零零散散讲的这些仍然只是表面现象，要想把它们完全搞懂实属不易。我仍在研究的路上。谢谢阅读！
帕普斯定理:九棵树排成十行每行三棵怎么排？