西姆松线证明:费尔巴哈圆、三点内摆线
今天讲一个漂亮的图形，请先看一看它的动画。
（1）西姆松线 从三角形外接圆上一点P向三角形三条边引垂线，三个垂足一定位于一条直线上。这条直线就叫做西姆松线。
随着点P在外接圆上运动一周，西姆松线朝反方向旋转半周（可再次观看上面的动画）。西姆松线的包络是一个“尖点三角形”。这里的包络是指，尖点三角形的切线都是西姆松线，而每一条西姆松线都是尖点三角形的切线。你观察一下看。
（2）费尔巴哈圆 上图中，点H为三角形ABC的垂心，点O为三角形外接圆（图中粉色）的圆心。垂心H和外心O连线的中点F为三角形的费尔巴哈圆（即九点圆，图中绿角）的圆心。费尔巴哈圆的半径是外接圆半径的一半。这些以前都讲过，可以查阅以前的文章（链接见文后）。
（3）三点内摆线（圆内旋轮线） 如下图所示，以费尔巴哈圆的圆心F为圆心，以费尔巴哈圆半径的三倍为半径作一个圆（图中蓝色）。两圆是同心圆。
那么，在两个同心圆之间正好可以放进一个同费尔巴哈圆一样大小的圆（图中红色）。让两同心圆之间的这个圆（动圆）在大圆内侧无滑动地滚动（费尔马哈圆不影响这种滚动），则动圆上一个定点运动的轨迹是一个内摆线，也叫做圆内旋轮线，“尖点三角形”（图中黑色阴影区域的轮廓）。动圆上的点在画出尖点三角形的三条“边”后正好回到出发点，这是因为大圆与小圆的半径之比是3:1，从而周长之比也是3:1。让红色动圆与蓝色大圆的切点位置选择合适，就可以使得这个轨迹与前面所说的包络完全“重合”。
费尔巴哈圆位于这个尖点三角形内部，且与之相切。
[1]《费尔巴哈定理|内切圆|旁切圆|九点圆》
[2]《九点圆最简洁的构造和证明》
[3]《再谈九点圆——从轨迹的角度》
[4]《位似变换|欧拉线|九点圆》
[5]《九点圆的证明》
[6]《九点圆与欧拉线》
[7]《已知四点画双曲线》
[8]《丰富多彩的九点圆》