已知椭圆上的五个点，求作这个椭圆
五点可以决定一个椭圆。那么，在椭圆上任意选取五个点，把椭圆擦掉后，如何再根据这五个点作出这个椭圆呢？
前不久讲过如何过椭圆上一点作椭圆的切线（《过椭圆上一点作切线》，链接在文后），那里使用的是帕斯卡定理。今天的问题也是利用帕斯卡定理（有关帕斯卡定理的具体内容，可参见前些天的文章《对偶原理（帕斯卡定理与布里安香定理）》，链接在文后）。
帕斯卡定理一定是与椭圆内接六边形相联系的。
我们给已知的五个点按顺序起名1，2，3，4，5。我们的方法是找到运动的第6个点，让它的轨迹描出椭圆。依次作过点1和2，2和3，3和4，4和5的直线，得直线（1，2），（2，3），（3，4），（4，5）。如下图所示。（我们这里是用类似坐标的形式（x，y）表示过点x和y的直线。数学就是这样美妙，需要时，点的坐标的形式又可以用来表示直线。这不正巧应合了射影几何中点与直线对偶的性质。）
回顾一下帕斯卡定理，其中涉及了六边形的对边的概念。按照上面取点的顺序，我们的六边形是123456。其中边（1，2）和（4，5）是一对对边[另外两对对边分别是（2，3）和（5，6）；（3，4）和（6，1）]。因为5个点是确定的，所以，（1，2）和（4，5）这组对边就是确定的。然后，过点5作一条可以绕点5转动的直线p（后面您会看到，正是因为在动，才可能产生轨迹）。但先固定直线p。如上图所示。因为直线p过点5，所以若假设椭圆已经作出，则直线p一定与椭圆交于两点，其中一点是5，另一个点就是6。但目前我们还不知道点6的具体位置，只知道它位于直线p上。即便如此，我们也已经知道了六边形123456的边（2，3）的对边一定位于直线p上。所以，我们就可以分别作出六边形123456两组对边及各一个交点。
如上图所示。设对边（1，2）和（4，5）的交点为X；对边（2，3）和（5，6）所在直线p的交点为Y。两点确定一条直线，我们连接XY所在直线。虽然六边形还缺一个顶点6没有作出来，但这个六边形的帕斯卡线（帕斯卡定理中最后所说的三点共线之线）已经确定了。根据帕斯卡定理，第三组对边的交点一定位于这条帕斯卡线上。但是，第三组对边中有一条边即（3，4）是确定的，它与帕斯卡线一定有一交点，那么，我们就作出直线（3，4）与帕斯卡线的交点，设它为点Z。所以这个交点Z也就一定在（3，4）的对边所在直线上。（3，4）的对边是（6，1），而点1是确定的，所以，点1、6、Z位于同一条直线上。那么，我们连接点1和Z，得直线（1，Z）（下图中红色）。而点6又必须位于p上，所以，我们最终就确定出了点6，它就是直线（1，Z）与直线p（蓝色）的交点。如下图所示。
上图中，六边形123456就是椭圆的内接六边形。我们下面用动画展示点6的运动轨迹。可以让直线p绕点5转动。我们来看一看。
注意观察上面动画中，其中的蓝色直线是动直线。点6也在动，但它永远在动直线上动。这一动就画出了椭圆的轨迹。还要注意，我们的椭圆内接六边形是123456，必须是这个顺序，而不管点6移动到哪里。所以，这个六边形不一定是我们常见的凸六边形。
是不是很美妙，帕斯卡定理用好了，可以有很多有趣的变化。