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已知椭圆的五条切线,求作这个椭圆

发布时间:  浏览: 次  作者:www.tl6.net

今天讲由5条切线作椭圆。在射影几何中,帕斯卡定理与布里安香定理是对偶的。从而内接六边形与外切六边形对偶。点与线对偶,对边与对顶点对偶,共线与共点对偶,……。所以今天的作图就与上期的对偶。

 

具体来说,先给5条切线依次取名1,2,3,4,5。这里,名称既可以表示整条切线也可以表示切于同一点的外切六边形的边。于是,切线1与2的交点就自然地叫做(1,2)。其他类似。

 

不妨在边5上取一点,这个点可动。但现在先固定它让它不动。第6条切线将经过这个点,所以,这个点就是(5,6)。现在根据布里安香定理,我们作过外切六边形对顶点的直线(虽然外切六边形还不确定,但有两条对顶点连线是可以作出来的)。具体来说,作连接点(1,2)和(4,5)的直线;再作过点(2,3)和(5,6)的直线。两条直线相交于点B(布里安香点)。那么过第三对对顶点的直线也应该经过点B。而目前我们知道点B和第三条对角线经过点(3,4)。所以过点(3,4)与点B的直线将与切线1相交于一点,这个交点就一定是外切六边形的一个顶点,即(6,1)。于是过点(6,1)与(5,6)的直线就是第6条切线。

 

最后,让动点(5,6)动起来,我们也就让第六条切线动起来,那么,这条动切线的包络就是一个椭圆。如下图所示。注意,其中椭圆左侧的切线没有画全,这是因为动点要运动到切线5的很远至无穷远的地方才能做到。

 

椭圆(其实对圆锥曲线都对)可以表示成点的轨迹,也可以表示成切线的包络。点的轨迹与切线的包络也是对偶的关系。数学之美在此得以完美展现。

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关键词:椭圆五条切线,求作这个椭圆

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