椭圆的共轭直径的图解
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上两讲我们讲过从椭圆外一点作椭圆切线，还讲了把椭圆外这个点作为极点时，极点的极线是什么。极点到椭圆两条切线的切点的连线就是这条极线。比如下图中点P若为极点，则它的极线就是过切点S和T的直线。
请问，极线什么时候通过椭圆中心？
可以看出，若点P离椭圆越来越远，则两条切线就越来越平行。当点P到达无穷远时，两条切线就平行了（或者说，平行线的交点在无穷远）。这时的两个切点就是椭圆的“对径点”，即两切点连线是椭圆的一条直线，即经过椭圆中心。以上是直观的考察。我们也可以通过完全四边形来加以说明。
上图中，若P到达无穷远点Q，则由（BA|KQ）=－1，得
(BK/AK):(BQ/AQ)=－1
但是，因为Q在无穷远，所以BQ=AQ。从而
BK/AK=－1
即
BK=－AK
这说明点K一定位于BA的中点。同理点G位于CD中点。
并且AB平行于CD。从而无穷远点Q的极线GK就是过椭圆中心的直线。也可以说，无穷远极点的极线位于椭圆内部的线段，是从无穷远极点向椭圆所引割线位于椭圆内部线段的中点的轨迹。
过无穷远点Q引过椭圆中心的割线之位于椭圆内部的线段与点Q的极线位于椭圆内部的线段都是椭圆的直径。椭圆的直径有无数多条，而只有像上面这样作出的两条直径才有特殊的关系，我们叫它们为共轭直径。共轭直径就是与一条直径平行的弦中点的轨迹。
所以，如果过椭圆外一点作椭圆的两条切线PS和PT，则ST就是切点弦；再连接点P与椭圆中心O，得线段PO。那么PO与ST的交点M平分切点弦ST，即SM=MT。如下图所示。
