阿波罗尼圆与三角形作图
三角形作图题中经常出现“两条边的比值为p:q(或m:n)”这一条件。于是我们可能会想到阿波罗尼圆，因为阿波罗尼圆是到两个定点距离的比值是定值的点的轨迹。于是，下面两道类似题目的解法就都有可能用到阿波罗尼圆。我们一起来讨论一下。之前讲三角形作图题共讲了15道，所以，今天的两道就叫做第16和17题。
第16题：已知a，∠A，AB:AC=c:b=m:n，求作三角形ABC。
第17题：已知a，ha，AB:AC=c:b=m:n，求作三角形ABC。
注意，已知m:n，可以认为已知两线段，其长度分别为m和n。下面作图中不妨假设m>n。
第16题解答：由已知的a和∠A（大小设为α），可以作出长度为a的弦及其内接角为α的圆弧（也叫做含角α的弓形弧）。如下图所示。图中BC=a，为弦，而圆弧BA'C即为弦BC上含角α的弓形弧。本题的关键是要确定三角形顶点A的位置，这个位置是一个点，它可以由两条不同的轨迹来确定。目前它一定位于弓形弧这条轨迹上，所以还需找到另一轨迹。这就要用到“AB:AC=m:n”这一条件了。
如上图所示，我们来确定出线段BC的定比分点（定比为m:n）。在线段BC内确定一点P，使BP:PC=m:n，在BC的延长线上再确定一点Q（图中未画出，因为可能较远），也使BP:PC=m:n。具体确定定比分点的方法，这里不再具体写出（用到《线段的作图——代数解析法》那一讲中作线段方法的第4条）。找到P和Q之后，以线段PQ为直径作圆，这个圆就是所谓的阿波罗尼圆。这个圆一定与刚才所作的弓形弧有交点，那么这个交点就是所要求作的三角形的顶点A。总结：本题所用方法可以称作轨迹法。两条轨迹，一条是弓形弧，一条是阿波罗尼圆，于是就可以找出它们的交点。
第17题解答：与第16题的解题思路类似，不同之处就是上题的弓形弧换成了本题的一条到BC距离为ha的直线。直线与阿波罗尼圆的交点就是点A。见下图。
