阿波罗尼圆法：两点被另外两点调合分割的方法
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第4种方法：阿波罗尼圆法
点A和B被点C和D调和分割，设点C已知，它位于线段AB之上，且不妨设点C与点B较近。我们要求点D，使得AC：BC=AD：BD。所谓阿波罗尼圆，就是指到两个定点距离的比值为常数k的点的轨迹。显然，阿波罗尼圆与直线AB的两个交点一定把AB调和分割。现在，点C已知，则比值AC:BC就是确定的了，即AC:BC=k。所以，我们只要作出到点A和B的距离的比值为AC:BC的阿波罗尼圆即可。（有关数学家阿波罗尼，可自行搜索。）
作法很简单。2018年8月5日的文章《轨迹题系列（之一）——阿波罗尼圆》讲过，可以文后点链接跳转到那篇文章。
本期讲用最基本的方法——比例法作阿波罗尼圆。
我们以点A为顶点作射线AA'，与射线AB有一个夹角。在AA'上取AE=AP。连接CE。过点B作CE的平行线，与AA'交于点F。则三角形ACE相似于三角形ABF。那么，AC:CB=AE:EF=k，即都是已知的比例k。那么分别以点A和B为圆心，以AE和EF为半径作圆，则两圆的交点Q或Q'就是阿波罗尼圆上的一点。随着点P在射线CB上的运动，点Q就描绘出阿波罗尼圆。设这个圆与直线AB的交点为D。所以一定有AC:CB=AD:DB，所以点D就是第二个调和分割点。