相交圆法:两点被另外两点调合分割的多种方法
相交圆法
如下图所示，点A和B位于一条直线上，点C位于点A和B之间，且离点B较近一些。我们要找到一点D，使得点C和D调和分割点A和B。
今天的方法姑且叫做相交圆法，因为我们将从下面作图中看到有两个相交的圆起到重要作用。如下图所示。分别过点A和B，在直线AB同侧作两条与直线AB垂直的线段AO₁和BO₂，并且要使两条垂线段一长一短，姑且让AO₁>BO₂。分别以点O₁和O₂为圆心作圆，让两圆相交（可以调整AO₁和BO₂的长度而做到）。得到两个交点P和P'。作一个过这两个点和点C的圆（过不在一条直线上的三点可以且只可以作一个圆，这里因为C离点B较近，所以C不是AB中点，而直线P'P必定过AB中点），即下图中的蓝色圆O。则圆O与直线AB除点C以外的另一个交点即为所求的两个调和分割点的第二个点（第一个点为C）。
在证明前需先证明调和分割的一个性质和判定。如下图所示，点A和B被点C和D调和分割，当然点C和D也被点A和B调和分割，点M是AB的中点，点M'是CD的中点，那么，点M到点A和到点B的距离的乘积，等于点M到点C和到点D的距离的乘积，即MA·MB=MC·MD；点M'到点C和到点D的距离的乘积，等于点M'到点A和到点B的距离的乘积，即M'A·M'B=M'C·M'D。这个是调和分割的性质。反之亦成立，即判定。这个结论从上一讲所讲的反演出发不难得到。
下面证明本题的结论，即点C和D调和分割点A和B。如下图所示，MD是圆O的一条割线，MP'也是圆O的一条割线，所以，MC·MD=MP·MP'。MA是圆O₁的一条切线，MP'是圆O₁的一条割线，所以，MA²=MP·MP'。同理，MB²=MP·MP'。所以MA=MB。并且，
MA²=MB²=MA·MB=MP·MP'=MC·MD
所以，点A和B被点C和D调和分割，且点C和D也被点A和B调和分割。证毕。