梅森数及梅森素数
的数叫做梅森数，其中p为素数。
为什么这个定义中要求p是素数？若p不取素数而取合数，那么，2的合数次方一定是一个完全平方数，那么根据平方差公式，2的合数次方再减1，就一定可以分解成两个正整数的乘积。也就是说，2的p次方再减1这种形式的数在p为合数时，一定是合数。于是，结果是合数，研究的价值就少了很多。
但是，就算梅森数的定义中要求p是素数，也不能保证梅森数一定是素数。梅森数可能是素数，也可能不是素数即合数。我们列出p取前面一些素数时的梅森数，并指出它们是素数还是合数。
从上表看，好象素数多于合数。其实不然。上表若再往后列出，素数的情况就远少于不是素数的情况。目前已经证明了，梅森素数的个数是无穷多的。而梅森数列变大的速度非常之快，所以，通过梅森数，数学家们可以更加容易地发现更大的素数。
因为梅森素数很快就变得很大很大，并且后一个梅森素数比前一个梅森素数要大上很多很多，所以，稍微大一点的梅森素数动辄就有几十位、几百位甚至几千位，......。今天我就讲一讲梅森素数位数的计算。（其实就是梅森数的位数的计算。）
以p取152为例。已经证实，p=521时的梅森数是素数：
它是一个具有157位的正整数，这已经是一个很大的数了。但因为素数有无穷多，所以，这个157位的素数也真的不算大，或者说很小。一般来说，我们常用的计算器是显示不出完整的157位的这个梅森素数的。其实我们也没有必要写出这个157位的素数来。但是，这个157位数的“157”，是怎么知道的呢？算出一个梅森素数有多少位，倒是一个很有趣的事情。这并不难办到。我们下面就来算一算M521这个梅森素数的位数。
首先，我们要说明，梅森素数
与它的下一个正整数(即比它大1的正整数）
具有相同的位数。因为若不具有相同位数，而后者又比前者大1，那么，前者就一定是以0结尾的正整数。但是，2的正整数次方都是以2,4,6或8结尾的，所以，梅森数M521是以1,3,5或7结尾的，不可能以0结尾。也就是说，梅森素数M521加1后，不足以增加位数。于是，我们要计算梅森素数M521的的位数，只需计算2^521的位数就可以了。
给“2的521次方”取以10为底的对数，得到
把对数式转换成指数式，得到
“10的156次方”是一个具有157位数字的正整数，并且是所有具有157位数字的整数中最小的一个：
“10的157次方”是一个具有158位数字的正整数，并且是所有具有158位数字的整数中最小的一个：
由于
所以，
好的，今天就讲到这里，下期讲一讲梅森数与完全数的关系。敬请关注和阅读。