梅森数与梅森素数与完全数
今天简单地讲一讲梅森数及梅森素数。不可能涉及梅森数的方方面面，而只是讲一讲比较好理解的方面。形如
的数叫做梅森数，其中p为素数。
就算梅森数的定义中要求p是素数，也不能保证梅森数一定是素数。梅森数可能是素数，也可能不是素数即合数。我们列出p取前面一些素数时的梅森数，并指出它们是素数还是合数。
从上表看，好象素数多于合数。其实不然。上表若再往后列出，素数的情况就远少于不是素数的情况。目前已经证明了，梅森素数的个数是无穷多的。而梅森数列变大的速度非常之快，所以，通过梅森数，数学家们可以更加容易地发现更大的素数。
梅森数定义中的p为素数。那么为什么不考虑p为合数的情况呢？是这样，若p为合数，则(2^p－1)一定是合数，而我们更关心的是梅森素数。为什么p是合数时(2^p－1)一定是合数呢？可以分两种情况讨论。第一种情况，p为偶合数，则(2^p－1)是平方差的形式，当然是合数。第二种情况，p为奇合数，不妨设p=mn，则有
所以它也是合数。于是，梅森数定义中就只规定p是素数。
（以上p为奇合数的情况的说明，回答了上次那位朋友的留言。感谢这位读者。！
）
因为梅森素数很快就变得很大很大，并且后一个梅森素数比前一个梅森素数要大上很多很多，所以，稍微大一点的梅森素数动辄就有几十位、几百位甚至几千位，......。今天我就讲一讲梅森素数位数的计算。（其实就是梅森数的位数的计算。）
以p取521为例。已经证实，p=521时的梅森数是素数：
它是一个具有157位的正整数，这已经是一个很大的数了。但因为素数有无穷多，所以，这个157位的素数也真的不算大，或者说很小。一般来说，我们常用的计算器是显示不出完整的157位的这个梅森素数的。其实我们也没有必要写出这个157位的素数来。但是，这个157位数的“157”，是怎么知道的呢？算出一个梅森素数有多少位，倒是一个很有趣的事情。这并不难办到。我们下面就来算一算M521这个梅森素数的位数。
首先，我们要说明，梅森素数
与它的下一个正整数(即比它大1的正整数）
具有相同的位数。因为若不具有相同位数，而后者又比前者大1，那么，前者就一定是以0结尾的正整数。但是，2的正整数次方都是以2,4,6或8结尾的，所以，梅森数M521是以1,3,5或7结尾的，不可能以0结尾。也就是说，梅森素数M521加1后，不足以增加位数。于是，我们要计算梅森素数M521的的位数，只需计算2^521的位数就可以了。
给“2的521次方”取以10为底的对数，得到
把对数式转换成指数式，得到
“10的156次方”是一个具有157位数字的正整数，并且是所有具有157位数字的整数中最小的一个：
“10的157次方”是一个具有158位数字的正整数，并且是所有具有158位数字的整数中最小的一个：
由于
所以，
梅森数为形如下面这个样子的数（其中p为素数）：
梅森数可能是素数，也可能是合数。下面我们要讨论的是梅森素数与完全数的关系。那么需要先说一说什么是完全数。
先说前几个比较小的完全数。“6”是第一个完全数，因为6除自身以外的因数1，2，3的和仍然等于6。第二个完全数是28，因为28除自身以外的其他因数之和为1+2+4+7+14=28，即等于自身。下一个完全数是496，请您自行验证。
那么，完全数的定义就是：除自身以外的其他因数之和等于自身的数称为完全数。
人们对一个新定义的数总是要去找一找它自身的规律。人们发现：
这是前三个完全数。从这三个数可以发现什么规律呢？我们试着归纳一下，应该是下面这个规律：
(注意，用P表示完全数是因为完全数的英文是PerfectNumber。)上式中小写p分别取前三个素数2,3,5时，上式的第二个因数分别是(2^2－1)，(2^3－1)，(2^5－1)，它们分别等于3,7,31，正好就是前三个梅森素数。那么，我们试着看一看p取素数7时情况。这时P的表达式中第二个因数为(2^7－1)=127，是第四个梅森素数。而这时的P可以通过上面公式计算出来：
我们来看一看这个8128是不是完全数。把这个数除自身以外的因数加起来：
1+2+4+8+16+32+64
+127+254+508+1016+2032+4064
=8128
所以，我们又发现了一个完全数，即8128。
梅森素数与完全数有了很紧密的联系。那么，是不是只要给定一个梅森素数，按照下面这个公式
就可以得到一个完全数呢？答案是肯定的。也就是说，上式中右侧的(2^p－1)若是梅森素数，则按上式得到的P就一定是完全数。我们下面就来证明。
上式是两个数的乘积，其中第一个数是“2^(p－1)”，另一个数是梅森素数(2^p－1)。寻找P的不同的因数并不困难。我们来看一看具体怎么做。
设上式中的第二个数即梅森素数(2^p－1)=q。于是，P的所有因数为：
注意，上式中最后一个因数是P本身。
我们把除自身以外的一切其他因数加起来，就相当于把一切因数加起来再减去自身。于是得到
即P除自身以外的因数相加，结果等于P。这说明P是完全数。
我们前面的证明是说，只要P的表达式中“第二个因数”（暂且把2^(p-1)当成第一个因数）是梅森素数，则P就是完全数（当然是偶完全数）。其实，现在也已经证明了，若一个数是偶完全数，则它一定可以写成下面这个形式：
其中的“第二个因数”是一个素数。而“第二个因数”是梅森数的形式，所以，第二个因数一定是梅森素数。也就是说，一个偶完全数一定可以写成一个梅森素数与2的方幂乘积的形式。或者说，梅森素数与偶完全数是一一对应的。这个公式是欧几里得发现的，多少个世纪过去了，才被后来的欧拉证明是偶完全数的唯一的公式，即任何偶完全数都具有这个形式。
上面我们只说是“偶完全数”公式。那么，是不是存在奇数的完全数呢？目前这是一个世界级的难题，可能还没有被解决。谁能解决它，谁就了不起。解决它是说，或者找到一个奇完全数，或都证明不存在奇完全数。这个难题可能很难很难！