乌鸦悖论和贝叶斯公式
数学之中，有各种奇葩抽象的存在——公理啦、定理啦、命题啦……这一期，我们要说的，便是令无数数理科学家抓狂的————
悖 论
乌鸦悖论
乌鸦悖论，是二十世纪四十年代德国逻辑学家卡尔·古斯塔夫·亨佩尔(CarlGustavHempel;1905～1997)提出的。
悖论是这样的，
这位逻辑学家说：“乌鸦都是黑色的！”
这很正常，不是吗？
然后他说：“不是黑色的都不是乌鸦。”
这还是很正常，不是吗？
然后他说：“这两个命题是等价的！”
我们稍微用一下我们所学的知识：原命题与其逆否命题等价，就知道的确如此。
但是，你有没有在一瞬间觉得这两个命题好像有些不等价的感觉呢？
既然它们是等价的，那么我们对这两个命题的“信任程度”应当一致：
可 是！
A.每当你见到一只乌鸦，它是黑色的。显然这增加了你对命题“乌鸦都是黑色的”的信任程度。
B.当你见到了一只红苹果，它不是黑色的。它能增加你对命题“乌鸦都是黑色的”的信任程度吗？
我们的直觉告诉我们，这根本是两回事啊！
难怪有个诗人如此写道：
我从未见过紫色的牛，Ineversawapurplecow
但若我见到一头，ButifIweretoseeone
乌鸦皆黑的概率，Wouldtheprobabilityravensareblack
更加可能是一么？Haveabetterchancetobeone?
悖论，就这样产生了。
我们的亨佩尔先生提出这个悖论，目的在于说明归纳法违反直觉。换句话说，这个悖论在于，按照等价原理，我们对等价的两个命题本应有同样的信任度，但我们看到一个红苹果却只能增加“非黑色不是乌鸦”的信任度，而直觉上无法增加“乌鸦皆黑”的信任度。
细心的同学可能已经发现，导致悖论产生的原因，便是我们的直觉。 即用直觉衡量归纳推理的信任度是不够的。那么，我们应如何来衡量对一项归纳推理的“信任程度”呢？这就要引入概率推理的著名公式——贝叶斯公式（又称贝叶斯定理）：
贝叶斯公式
贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯(ThomasBayes1702-1761)提出的，用来描述两个条件概率之间的关系，并且有着广泛的应用
细心的同学可能已经发现，这不就是将条件概率公式用两遍然后拼在一起嘛？
ummmmm···
稍安勿躁，我们先来看它是怎么用的——
e.g.1:
一座别墅在过去的20年里一共发生过2次被盗，别墅的主人有一条狗，狗平均每周晚上叫3次，在盗贼入侵时狗叫的概率被估计为0.9，问题是：在狗叫的时候发生入侵的概率是多少？
解：设A事件为狗在晚上叫，B为盗贼入侵，则以天为单位统计，P(A)=3/7，P(B)=2/(20*365)=2/7300，P(A|B)=0.9，按照公式很容易得出结果：P(B|A)=0.9*(2/7300)/(3/7)=0.00058<<P(A|B)=0.9。
“狗吠盗来”≠“盗来狗吠”，你有没有想到呢？
e.g.2:
已知：
则
为多大呢？
解：根据贝叶斯公式，
显然，P(A|B)=0.2837>>P(A)=0,0004，这生动形象地说明了“体测不及格说明人肥胖”是极其不靠谱的。
最后，我们来用它来说明乌鸦悖论中的两个命题的成立的概率是相同的：
设事件B=乌鸦，A=黑色，则由“乌鸦都是黑色的”可知，P(A|B)=1，
所以
