落体偏东现象及其原因:北半球落体偏东现象的简明分析
摘要：落体偏东和抛体偏西两个问题一般用科里奥利力来分析，这往往变成一个死记硬背的刷题行为(如果从头介绍科里奥利力，那么教学成本也很高）。本文给出不涉及科里奥利力的概念，但又足够简洁的分析方法。
〇、引言
落体偏东是这样物理现象：物体从距地面一定高度自由下落时，落地点会比最初下落位置稍微偏东。这是个有趣现象，历史上也是地球自转的证据之一(如果不能证明地球自转，我们还得生活在地心说的教义中)。
对落体偏东的理论分析，通常使用科里奥利力(Coriolisforce)。但是：
1) 科里奥利力需要相对坐标系和非惯性系的概念；
2) 科里奥利力没有施力物体，所以学生理解起来就有点别扭。物理教学中，一谈到力，就想到力是物体之间的相互作用，既有受力物体，也有施力物体。
以上两点都会增加落体偏东的理解门槛和学习成本。
本文所采用的分析避开科里奥利力，但又足够简洁。
一、定性分析
下面对落体偏东定性分析。因为是定性分析，所以以在赤道处落体为例，这是最简单情形。
在下面图1中，赤道上方有一高度为h的垂直立柱。此立柱随地球表面一起绕地心转动。显然，柱顶的速度大于柱底的速度。
图1
落体待在柱顶时，其速度与柱顶速度相同(方向与立柱垂直)，也比柱底的速度大。
从立柱上掉落后，由于地球引力，它会获得向地心的速度，这个分量越来越大(图2)。在掉落过程中，落体从柱顶获得的速度依然存在，而且一直大于柱底的速度。
图2
落体和柱底都有向东的速度，但前者大于后者，所以等到落体落到地面上时，它跑到了柱底的前方，也就是在柱底的东边。这即所谓的落体偏东。
抛体运动的分析类似。在图3中，抛体的水平速度与地球表面速度相同。
图3
想象有个像图1中那样垂直于地面的虚拟立柱，它随地球转动，如图4中所示。
图4
当物体抛到空中后，其最初获得的V地小于位于虚拟立柱同等高处的速度V虚拟柱。这个小于号是从抛体离开地球表面就开始的，所以抛体始终落在虚拟柱的后面。
当抛体升高到最高点后开始下落(图5)。
图5
在下落过程中，抛体最初获得的V地分量依然小于同等高度虚拟柱上的V虚拟柱，所以抛体落后于虚拟柱的距离进一步加大。
等抛体回落到地面，虚拟柱底(也就是开始抛的地面位置)位于抛体落回的东边。这就是抛体偏西的现象。
二、定量分析有“纠结”
我们来看一下，上一节的定性分析能不能简单地变成定量结果。
不管是落体，还是抛体，其立柱相对于地球半径都很短，所以地表弧段可以近似为线段。因此，落体的位移差可近似为
四、消除“纠结”
落体偏东的量很小。假定落体从h=100m处落下，偏东的距离也就只有21.9mm(图1-图5都画得很夸张)。所以，我们也很自然地认为重力加速度方向是不变的。
然而，抛体在空中运动时，重力加速度指向球心，所以其方向肯定要变，尽管变的幅度很小。很小的幅度会不会有影响呢？要知道偏东也就只有21.9mm，所以还是需要考虑重力加速度方向的微小变化。
图6
方程(€4)是微分方程，可以迭代近似求解。
首次近似，就像第二和第三节那样，取
可以将式(€6)作为方程(€4)的右边s的近似值，重复上述操作，得到精度更高的近似解。所得结果是对(€6)修正，相应修正项是t的5次项。因为落体t的范围很小，不用再计入高次项了(这当然是知道了答案的“凑")，所以止步于式(€6)。
从式(€6)可得
我们再来看抛体，此时(€4)同样成立，但是第一轮近似为s≈v地t。这样有
有人可能对上述近似处置觉得不保险，那么就必须要解微分方程。
微分方程(€4)可类比振动方程
回过头再看第二节,它对落体处理还是有瑕疵的，因为重力加速度不垂直所导致的水平速度是减小V落体(最终答案也确实减少了1/3)，但是我们没有(能)讨论这个减小不会影响定性结果(如果你有，请留言)。
对抛体的定性没有影响，因为重力加速度不垂直所导致的水平速度进一步减小了V地。
五、科里奥利力的途径
为了完整，最后来看一下采用科里奥力的处置。
考虑地球自转，固定在地球表面参考系不再是惯性系，而是绕地球南北极轴转动的参考系。质点在地球表面参考系有相对运动时，只有加上因坐标系转动所导致的离心惯性力和科里奥利力之后，才能用牛顿第二定律。
离心惯性力与地球自转的角速度平方成正比，科里奥利力与地球自转角速度一次方成正比。因为地球自转角速度很小(7.292x10-5rad/s),所以离心惯性力相对科里奥利力可以忽略不计。
图7
科里奥利力FC=-2mΩⅹv。对从赤道上方下落的物体,FC的方向指向东(图7)，大小为FC=2mΩv(前面已经指出，v并非竖直向下。但是其偏度的影响可忽略不计)，这样下落过程中沿水平方向有
对于抛体，上抛过程的科里奥利力向西，下落过程的科里奥利力向东，二者对称，所引起的加速度也是对称的。但是，位移要对加速度积分两次，所以位移不会抵消为零。
在上升段(向东为正向)
结果与第四节相同。
六、结束语
本文对落体偏东和抛体偏西进行了定性和定量分析，分析过程较为简洁，理解门槛也比较低。