正四面体与截角四面体可以铺满空间
（1）准备一个正四面体，先确定出它每条棱上的两个三等分点。那么，与某个顶点相邻的三等分点就有三个（下图中用同一颜色表示），用一个过这三点的平面把一个角（三面角）截去（或砍去）。正四面体有四个三面角，都这样砍去，便得到所谓的阿基米德体之一——截角四面体。下面两图简单说明了上述过程。截角四面体有四个正三角形面（新截出来的）和四个正六边形面（原来正三角形面变来的）。
我们姑且把这个绿色的截角四面体称作“绿宝石”。
（2）把开始那个正四面体取它的反体，即下图所示（正四面体的反体是把正四面体的对偶多面体放大后得到的；而正四面体的对偶多面体仍然是一个正四面体，它是以原正四面体各面中心为顶点的多面体）。同样地，取各棱的三等分点，与前面做法一样，于是，我们便得到另一个截角四面体，本文暂称其为“蓝宝石”。示意图如下面两图所示。
（3）一共切下来四个绿色正四面体和四个蓝色正四面体，这八个正四面体一样大小。我们留下它们各一个，后面有用。
（4）把“绿宝石”和“蓝宝石”做平移变换（不能有任何其他变换）并聚拢，如下图所示。最终让它们以正六边形面相贴合，得到一个组合体。过程大致如下图所示。
（5）这个组合体看上去有些奇怪，但没有关系，我们下面给它补上两块东西。把前面保留下来的绿色和蓝色各一个小正四面体分别贴放到组合体的左下角和右上角的正三角形面上。于是便得到下面的立体。
上图这个立体是个什么立体？应该容易看出来的。对，它是一个平行六面体。得到这个平行六面体非常重要。有了这个平行六面体，我们就可以用它进行复制从而铺满整个空间。要求在铺的过程中，一个平行六面体的面要与另一个平行六面体的面完全重合地贴合在一起。能够这样做是因为这个平行六面体的每个面都是一样的。这种一样表现在两个方面：不仅都是有一个角是60度的菱形，而且这个菱形都是由一个正六边形和相对的两个正三角形组合而成且正六边形的边长与正三角形的边长相等。这样一来，任意两个这种平行六面体，只要面与面完全重合，面与面上的棱也完全重合。这为后面的性质打下基础。
（6）我们研究这种空间密铺，是因为它具有一些特殊的性质。下面我们用四个这种平行六面体拼成一个“田”字形，如下图所示（为了看得清楚，让它们之间留有一些距离）。观察每个平行六面体中标以红色的线段，其中三条是三个截半四面体的条一条棱，另一条线段是一个正四面体的一条棱。这四条红色线段应该在拼接好后是重合在一起的。这说明一条棱的周围连接着一个正四面体和三个截角四面体。其他棱也一样都是这种情况。也就是说，用这两种立体铺满的空间，它的每条棱的情况都是相同的。
（7）再来观察每条棱连接着的正多边形是什么情况。可以看出，每条棱连接着2个正三角形和2个正六边形。
（8）若我们要求在用正多面体和（或）阿基米德体密铺整个空间时，每一个棱周围连接着的正多边形完全一样，则我们将得到五种可能情况。昨天讲了一种，是由正八面体和正四面体铺成。今天又讲了一种，是由正四面体和截角四面体铺成。第三种全由正多面体——正方体构成，是最简单的一种，可以不用讲。第四种是由一种阿基米德体——截角八面体独自铺成。第五种是由正八面体和截半八面体（也叫做截半正方体，因为把正方体截半所得与把正八面体截半所得是同一种阿基米德体）铺成。后两种以后陆续讲。