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等差数列求和的巧算

发布时间:  浏览: 次  作者:www.tl6.net

等差数列求和公式比较好用,但是在有些题目中,直接运用求和公式也比较麻烦,可以采取以下巧算的技巧。

 

从1到2020的所有自然数中,所有偶数之和,减去奇数之和,结果是多少?

  1到2020的自然数列,总共2020个数,其中:偶数项1010个,2开头、2020结尾,公差是2;奇数项1010个,1开头、2019结尾。

 

  老老实实通过公式计算当然可以计算出来,但是,如果我们把1、2作为一组,3、4作为一组,这样可以将这个自然数列分成1010组,每组都是一个奇数和一个相邻的偶数组成,每组的偶数减去奇数都是1,所以总的差额就是1010。

 

连续9个自然数的和为54,那么以这9个自然数的末项作为首项的连续9个自然数之和是多少?

  先按部就班的做:

  当然,还是有技巧的,连续9个自然数,他们之和应该就是中间的一个数乘以个数9,所以中间数应该就是6,这9个数就分别是:

   2、3、4、5、6、7、8、9、10

 

  以末项10作为首项的连续9个自然数就是:

  10、11、12、13、14、15、16、17、18

  他们之和就是中间数14×9=126

 

  有没有更快的计算方法?当然有!

   以第9个数作为首项的数列,如果与第一个数列的每项逐一对比:

  第二个数列的第1项,比第一个数列的第1项大8;

   第二个数列的第2项,比第一个数列的第2项大8;

   ……

   第二个数列的第9项,比第一个数列的第9项大8;

 

  所以总共大8×9=72,也就是总和为:54+72=126

 

 

100个连续自然数之和是8450,取出其中的第2、4、6、8、…、100项,剩余部分相加,之和是多少?

  先按部就班的做:

  (首项+末项)×100÷2=8450

  所以:首项+末项=169

  又根据上次讲到的通项公式,末项=首项+99×1

   所以:首项+首项+99=169

  故:首项=35

 

  然后就是求35为首项、50项、公差为2的数列之和:

  S=50×35+50×49×2÷2

=50×35+50×49

=50×84

=4200

 

  计算量是不是很大?来,巧算

   取出来的是偶数项,留下的是奇数项,跟第一个例题中一样,我们把奇数、奇数后面一个偶数组成一组,有50组,每组之差是1(偶数大),也就是说,取走的偶数之和比留下的奇数之和,大50

  所以留下的奇数之和

  S=(8450-50)÷2=4200

 

  快不快?

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关键词:等差数列求和,巧算

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