布里安香定理 | Gergonne点 | 塞瓦定理
(1)先给出后面要用到的塞瓦定理。
塞瓦定理：三角形ABC中，点D、E、F分别位于边BC、CA、AB上。那么，三条塞瓦线AD、BE、CF共点的充要条件是：
(2)本期介绍Gergonne点。设三角形的内切圆与三条边相切之点分别为D、E、F（注意，这里的D、E、F三个点不一定是角平分线与对边的交点）。下面简单证明三条塞瓦线AD、BE、CF共点，这个点叫做Gergonne点（下图中点G）。（注意，点G与内心I是不同的，虽然有可能挨得很近。)
因为D，E，F三点都为切点，所以有
根据塞瓦定理充分性，这样的三条塞瓦线是共点的。这个点就是所谓的Gergonne点。
(3)用布里安香定理证明上述三线交于一点，则是显然的。用到的是布里安香定理中外切六边形每相邻的两条边成为一条边时，这时的六边形变为三角形，原相邻两条边的交点及这两边与圆锥曲线的相切点，三点合一，成为合并之边与圆锥曲线的切点。这时的布里安香定理成为：三组顶点与对边上的切点的连线共点。下图中，AD、BE、CF交于点S。那么在圆锥曲线为圆时，三条线的交点就是上一条所说的Gergonne点。
布里安香定理对椭圆等全部圆锥曲线都是成立的，而Gergonne点第一个证明中用到的“圆外一点到圆的切线相等”就太过特殊了。但是，说特殊也并不很特殊，因为椭圆可以当成的圆的仿射变换，所以，对圆正确的结论，只要不涉及长度、角度等具体度量值，对仿射变换成的像，布里安香定理这个射影几何学的定理，也是成立的。具体来说，在原像中，圆与三边的切点分别把三边分为成比例的两段，然后，经过仿射变换，圆与外切三角形都变形了，变为了椭圆及它的外切三角形，但三边中的切点仍然分这边为相同比例的两段，所以，三个比例相乘后仍然等于1，所以塞瓦定理依然成立。如下图所示。注意下图中三个比例的乘积等于1。
所以，我们可以称上图中点G也为Gergonne点，那么你说这个三线共点是巧合吗？一点也不巧合，对圆锥曲线都成立，是世界中存在的客观规律。