悬链线方程的推导过程、求解及应用
今天讲一讲悬链线。把一根质量分布均匀的链子或软绳的两端系在等高的两个点上（其实不等高也不影响），则链子或软绳自然弯曲而成的曲线就是悬链线。很早以前人们认为悬链线是抛物线，因为看上去确实很像。但后来物理学家和数学家都证明了它不是抛物线。根据力学原理分析悬链或软绳的受力，可以得出悬链线的方程是：
其中涉及双曲余弦：
类似地，还有双曲正弦、双曲正切：
双曲正弦、双曲余弦、双曲正切及双曲余切(cthx=1/thx)统称为双曲函数(或双曲线函数)。双曲函数有一些性质后面会用到：
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证明如下：
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证明过程如下：
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悬链线的图像关于y轴对称，顶点坐标为(0,a)，是悬链线的最低点：
下面我们看如何作悬链线上任意一点处的切线。求导数，得：
我们假设切线已经作出，那么，过点P向x轴引垂线，设垂足为B。过点B向切线作垂线，垂足为C。则有
所以，
上式的推导用到了已得结果(3)及双曲函数shx与chx之间的平方关系(前面有推导)。BC正好等于a，这提示我们，可以这样作悬链线上一点P处的切线：过点P向x轴作垂线，垂足为点B。以PB为直径作圆O。以点B为圆心，以a为半径作圆O'，与圆O交于点C。则过P和C的直线就是悬链线过点P的切线。
观察上图，容易得出法线长度为：
再根据曲率半径公式：
可以得到点P处的曲率半径为：
即曲率半径等于这点处法线长度。所以，我们可以容易地从法线找出曲率中心S（上图中红点）。那么，也就可以画出曲率中心的轨迹即悬链线的渐屈线（下图中红色曲线）。注意，渐屈线永远与法线相切，或者说，渐屈线是法线的包络。切点S就是曲率中心。这个渐屈线像不像飞向我们的海燕！
下面我们再来计算从顶点A到任意一点P的曲线长度。
再由(3)式，即
得到
于是，由于曲线弧长AP的长度不好测量，我们就可以转换成测量直线段CP的长度。我们还是像前面那样，先做出点P在x轴上的投影点B，以PB为直径作圆O，以点B为圆心以a为半径作圆O'，与圆O交于点C。连接CP。则CP的长度就等于弧AP的长度。我们只需测量线段CP的长度即可。或者这样做也行：如下图所示，以顶点A为圆心，以点P的纵坐标y为半径作圆O"，与x轴交于点E（本是有两个交点，我们取与P在y轴同一侧的交点）。则得到直角三角形AOE。那么，OE的长度就是弧AP的长度。
本期内容，既有高等数学的微积分，又有初等数学的几何作图。很难得！