史留斯蚌线（含蔓叶线）
史留斯蚌线及它们与圆锥曲线之间的关系。
史留斯蚌线是这样做出来的：有一个半径为r的圆C，取一条直径OD（不妨置于水平）。还有一条直线l与直径OD垂直。直线l与圆心的距离可以变化，有相离、相切和相交三种关系。以下图相离情况为例加以说明。
以点O为极点，OD所在直线为极轴。在直线l上取一动点N，作射线ON。ON与圆交于点M。作向量MN（注意，这里取向量，是为了有方向）。在射线上（或反向延长线上取一点P，使得向量OP等于向量MN。那么，随着点N在直线l上的运动，点P将描绘出一条运动轨迹。这条轨迹就是史留斯蚌线。根据直线与圆的不同位置关系，史留斯蚌线有三种可能的大致形状：
（1）相离，即a>2r时。这时的史留斯蚌线如上图最右图绿色曲线所示，它没有尖点，关于x轴对称，有一条渐近线，就是直线l。曲线全部位于过点O且与OD垂直的直线的右侧，直线l的左侧。这时的史留斯蚌线叫做短蔓叶线。
（2）相切，即a=2r时。如上图中间一图红色曲线所示。这时的史留斯蚌线有一个位于点O处的尖点，曲线也关于x轴对称，以直线l为渐近线。这时的曲线正是著作的蔓叶线（前几期讲过）。
（3）相交，即a<2r时，史留斯蚌线有一个绕扣（绕环），绕扣位于O点与圆相反的一侧，如下图左侧图中的粉色曲线。它叫做长蔓叶线。
上面三个状态中，相切是相离与相交之间的临界状态，只有一个瞬间(a=2r)。长蔓叶线有无数多条，也互不相似；短蔓叶线也是如此。而蔓叶线因为是一个瞬间，所以，不管你用多大或多小的圆，画出来的蔓叶线有多大或多小，但经过缩小或放大及平移或旋转，它们都可以重合，从而所有蔓叶线都是相似的。这正像圆锥曲线中，双曲线与椭圆的临界状态是抛物线，而所有的抛物线都是相似的。
说到圆锥曲线与史留斯蚌线之间存在着这种类似之处，我们好期待两者之间存在着某种联系。事实上，史留斯蚌线与圆锥曲线是互为反演的关系。如下图所示，长蔓叶线与双曲线互为反演，蔓叶线与抛物线互为反演，短蔓叶线与椭圆互为反演。当然，一定要把反演极置于点O处。
数学真是奇妙，这个看似很奇怪的史留斯蚌线，却其实与大名鼎鼎的圆锥曲线有着这样完美的关系。我们以前讲过的帕斯卡蜗线（中间状态是心脏线），也有三种大致形状，也是分别与圆锥曲线存在互为反演的关系。数学之美有时就在于看似不相关的两件事物，却能美妙地产生某种联系。对数学的喜爱就是从这样对美的挖掘和感悟中建立起来的。
下面简单推导史留斯蚌线的极坐标方程。由上图可以直接看出：
显然a≠2r时，一般来说，a和r的变化不会导致ρ的等比例变化。而在临界状态即a=2r即蔓叶线时，方程变为ρ=2r(1/cosθ－cosθ)。r变化，ρ跟着线性变化，这就是成比例变化，就是相似性。
回想一下帕斯卡蚌线的方程和三种类型曲线的形状，也有类似的情况发生。
在2r=l时，方程变为ρ=2r(cosθ+1)，曲线成为心脏线，ρ随r线性变化。于是所有心脏线都是相似的。
最后看一下圆锥曲线的极坐标方程：
说明只有在离心率不变的情况下才有相似性。而抛物线的离心率e=1，不变。所以所有不同大小的抛物线都是相似的。椭圆有扁一些的，有圆一些的，但通过放大缩小不能使它们重合。双曲线也类似，但抛物线可以做到。