素数是什么意思？素数的概念定义
发布时间: 浏览: 次 作者:www.tl6.net
素数又称为质数，其定义是在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数；否则称为合数。
素数和合数是一组相对的概念（规定1既不是素数也不是合数）。
人类在很早的时候就开始研究素数了，神秘的素数令无数数学家为之魂牵梦绕。
在数学中就有一门分支学科专门研究素数（整数）及其性质，称为数论，你一定听闻过我国数学家陈景润攻克哥德巴赫猜想的故事吧，讲的就是这个。
素数从2开始，后续有3、5、7、11等等等等，你是否有这样的疑问：假如素数如果可数，是否可以数完？换句话说，素数是有限个的还是无穷的？
100以内的素数答案是无穷多个的。
今天大小吴就将为大家介绍一下“素数有无穷多个”的4种证明方法~在此之前，我们首先来了解一下“算术基本定理”。
“
算术基本定理:设
为一个大于1的自然数，则有
其中
为某自然数，
是素数，并且在不记素数排列次序的意义下，上式分解是唯一的。
1Euclid的证明
关于素数有无穷多个的证明，早期经典的证明可以追溯到欧几里得（Euclid）的《几何原本》。这也用到了数学中的反证法。
欧几里得（约公元前330年—公元前275年）假设 是全部素数，令
,并且
为
的一个素因数。
则
，否则
且
（
整除
，且
整除
），从而
，即
，这是不可能的。
所以
是一个新的素数，所以假设不正确，因此素数有无穷多个。
2Hermite的证明
第二个证明来自法国数学家埃尔米特（Hermite），过程也是非常简洁优美。
埃尔米特（CharlesHermite，1822年—1901年）考虑任意的正整数
，只需证明必存在大于
的素数即可。
构造 若
为素数，则结论成立；若
为合数，对于任意的正整数 ，
都不能整除
，则必存在一个比
大的素数
，有
。
因此素数有无穷多个。
3利用费马数证明
另一个证明来源于数学史上一个著名的乌龙事件，数学家费马发现对于 前五个数 ~ 均为素数，于是他猜想所有的 都是素数，费马没给出证明（他经常这样干）。
“业余数学之王”费马
有趣的是，天降神人数学猛男欧拉发现是一个合数，直接无情推翻了费马的猜想。
考虑如下递推式：对于上述递推关系的证明可以简单地用数学归纳法证明：1）易知 ， ，则当
时，有
成立2）当
时，也成立事实上，对于任意两个不同的费马数 和
，则由递推关系可知
继而由辗转相除法可知 但由于所有的费马数均为奇数，所以
即任意两个费马数互素，证明完毕。
4数学归纳法
最后一个证明遵循的原理是数学归纳法，非常巧妙。任取素数 ，则有
，即 与 互素，因此 的素因数中，至少存在1个不等于 的素因数 ，令
，则 的素因数中，存在2个互不相等的素因数 、 。
同理因为
，因此 的素因数中，至少存在1个不等于 和 的素因数 ，令
，则 的素因数中，存在3个互不相等的素因数 、 、 。
假设 至少有
个互不相等的素因数，因为
，因此 的素因数中，至少存在1个不等于 、 、 、
、 的素因数 ，令
，则 的素因数中，存在
个互不相等的素因数 、 、 、...、 。
由数学归纳法可知，素数有无穷多个。
参考文献[1](德)MartinAigner，GünterM.Ziegler.数学天书中的证明（第三版）[M].冯荣权等译.高等教育出版社，2009.